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2008年8月31日 (日)

Excelでトーマス・フェルミ方程式を解いてみる(改善版)。

Thomas-Fermi方程式

y'' = t-1/2 y3/2

y(0)=1, y(∞)=0

前に解いたけど、低精度の差分法でちょっと気になっていた。でこの前Emden方程式を解いたときの方法が使えるかと思ってやり直し。

t=0付近での近似解を求めて、そこからスタートすることにしよう。単純な級数では計算できないので、Picard(ピカール。スタートレックのジャン・リュック・ピカードと同じ)の逐次近似でやってみた。手計算は…もう無理。Maximaで計算してみた。y'(0)=cとすると、

y(t)は以下のように展開できる(10次まででも簡単)。

Thomasfermi3

これで t=Δt の時の初期値を得てから、Runge-Kutta8次(Dormand-Prince)で計算した結果がこれ。

Thomasfermi2_2 

フィッティング関数により近くなったな。まあフィッティング関数が正しいというより、今回の方が正しいだろうな。ちょうどt=1くらいのところでフィッティングの分子分母が切り替わるイメージかな。

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