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2008年10月 2日 (木)

Excelでゼータ関数を計算してみる。

この前、ゼータ関数の自明な零点の話を書いたけど、ちゃんとゼータ関数を計算したくなった。

ζ(s) = ∑1/ns  (n=1...∞  )

をそのまま計算するわけにもいかないし、何かいい公式ないかな?と思ったらmathworldや英語のwikipediaに出ていた。

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

ζ(s)=1/(1-21-s)∑1/(2n+1)∑(-1)k nCk (k+1)-s  

が全平面で収束するということで、かつExcelでも簡単に計算できる。複素数のべき乗のルーチンが必要だけど(また後で書く)。

計算結果は、s=σ+itとしてσもtもどちらも±10まで動くとした場合。

実部:

Zeta_function01

虚部:

Zeta_function02

実軸上の値は、

Zeta_function03

なるほど、これなら負の偶数が0になるのが見える。

リーマン予想のσ=1/2+itのときは、

Zeta_function04

のようになる。大体、t=14,22,25・・・くらいの近くで零になるんだな。

σ=0~1、t=0~40のときの絵は以下に。波打ってるのがよくわかる。

実部:

Zeta_function05

虚部:

Zeta_function06

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