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2009年3月 3日 (火)

ラマヌジャンのτ関数をMaximaで計算してみる。

この前買った「数の本」に載ってたラマヌジャンのτ関数。

x*((1-x)*(1-x^2)*(1-x^3)・・・)^24 = τ(1)*x + τ(2)*x^2 + τ(3)*x^3 + ・・・ 

Maximaで計算してみた。

まず定義は簡単に、

G(x):= x*product((1-x^i)^24,i,1,100);

で、あとはテイラー展開していくと、例えば10項までなら

taylor(G(x),x,0,10);

x-24*x^2+252*x^3-1472*x^4+4830*x^5-6048*x^6-16744*x^7+84480*x^8-113643*x^9-115920*x^10+...

とめちゃくちゃ簡単。100までのグラフは

Photo

100までの数表は

「Ramanujan-tau.csv」をダウンロード

これは

τ(mn)=τ(m)τ(n)   (ただしm,nに共通因数なし)

とか、

τ(n)はnの約数の11次の総和と691を法として合同

とかすごい性質がある。よくこんなこと思いつくな。

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