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2009年7月12日 (日)

Mackey-Glass方程式をExcelで(改善版)。

フラクタル科学に載っていた時間遅れのある微分方程式(遅延微分方程式)、Mackey-Glass(マッキー・グラス)方程式。

http://www.scholarpedia.org/article/Mackey-Glass_equation

dx(t)/dt = -αx(t) + βx(t-τ) / (1 + x(t-τ)^n)

前回はオイラー法で解いてみたけど、今回はちゃんとDormand-Prince(RK8)で解いてみよう。どうやろうかと思ったが、「数学・物理100の方程式」に差分微分方程式として簡単に計算法が紹介されていた。ステップ・バイ・ステップ法というらしい。

[t-h, t]で、x(t-h)をφ(t-h)のように既知関数と思うと、次の[t,t+h]の範囲が計算できる。とかなんとか順々に解いていけるということで、日本語にしにくいけどプログラムは簡単。で計算したのがこれ。n=9.65。

Mackeyglassimproved_2

格段に滑らかに図示できた。ただし、Runge-Kuttaだとtの分点ではないところの値が必要で、そこは他の何点かから多項式で近似している。けれどRK8次を使っているのにその多項式は2次(面倒なんで。。。)なので、そこでちゃんと精度出てない可能性があるなあ。またさらに改善しよう。

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