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2009年7月15日 (水)

累乗の計算を覚えるとなんで他の計算が速くできるの?

さっきフジテレビのベストハウス123を見ていたら、累乗の計算を全部覚えている人がいて、その人が他のいろんな計算も速くできる、という話が出ていた。

なんで?と思ったら、これは対数表を覚えているのと一緒なのか。

まず常用対数表を使う計算だと、例えばx,yが与えられてその積を求めるときは

x=10^a , y=10^b

なので

a=log x, b=log yは対数表から引ける。log xy=log x+log y=a+bなんで、これから逆に数表みればxyが求まるということですね。商はlog a/b=log a - log bだね。累乗はlog x^y = y log xとか。

でも累乗を覚えているともう対数表から引く必要もなくx=10^a, y=10^bのa,bがわかって、かつ積はxy=10^(a+b)、商はx/y=10^(a-b)ですぐでてくるのか。そりゃすごい。

和と差はちゃんと暗算できないと累乗だけでは無理かな。

うーむ、しかしこれなら対数表を頭に入れといた方がいいんじゃないのかなあ。フェルミは全部覚えていたそうですよ。多分フォン・ノイマンも。

私が覚えているのは、常用対数で、

log 1 = 0

log 2 = 0.301030 (去れ、一応去れ)

log 3 = 0.4771213 (死なない兄さん)

log 4 = 2 log 2 = 0.602060

log 5 = log 10/2 = 1 - 0.301030 =  0.69897

log 6 = log 2 + log 3 =  0.7781513

log 7 = 0.8451 (はしごを1つ OR はよ来い。ちょっとこれだけ精度悪い)

log 8 = 3*log 2 = 0.903090

log 9 = 2*log 3 = 0.9542426

log10 = 1

eと10の底の変換に必要な ln 10 = 2.3026

log (1+x) ≒ x/2.3026

くらいかな。これがあった上で、出ていた83^9(うろ覚え)を計算してみよう。

実際は186940255267540403≒1.869E+17になる。

log 83^9 = 9 log 83 = 9 log (81 +2 ) ≒9 log 3^4 * (1+2/81) = 36 log 3 + 9*2/81/2.3026

≒ 17.2728

なんで x = 10^17.2728 = 10^17 * 10^ 0.2728 ≒ 1.87E+17だ。

最後のは log (2-ε)=0.2728として計算。

まあこんなくらいの精度はでます。

でも暗算じゃない。。。orz

あー、あと平方根を

√2 = 1.41421356 (ひとよひとよにひとみごろ)

√3 = 1.7320508 (ひとなみにおごれや)

√5 = 2.2360679 (ふじさんろくおうむなく)

√7 = 2.64575 (なにむしいない) ---7は鬼門ですな。

と覚えていれば

log 1.41421356 = 0.5 * log 2 = 0.150515

とかいろいろ計算できる。

しかし今なら関数電卓で一瞬orz

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