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2009年8月11日 (火)

Numerov法でシュレーディンガー方程式をExcelで。

元ネタはこの「計算物理」です。

Numerov法といううまいやり方があるのをこれで初めて知った。

φ"(x) + E(x) φ(x) = 0

を解くのに、

(φ(x_i+1) + φ(x_i) - 2φ(x_i-1) )/h^2 = φ" + h^2 φ""/12 + O(h^6)と

φ""(x) = (-Eφ)"の差分形を使ってh^6の精度の差分方程式が得られる。

(1+h^2 E(x_i+1)/12)φ(x_i+1) -2*(1+5*h^2 E(x_i)/12)φ(x_i)+ (1+h^2 E(x_i-1)/12)φ(x_i-1)=0

これを使ってφ"(x)+Eφ(x)=0 、φ(0)=φ(1)=1  (箱の中の自由粒子)を解く。

結果はこれ。

Numerov001

En=(nπ)^2が厳密解なんだけど、ちゃんと計算できてる。すばらしい。

n En En/π^2
1 9.869604 1
2 39.47842 4
3 88.82644 9
4 157.9137 16

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