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2009年12月 8日 (火)

拡散方程式を高次ルンゲクッタで計算してみる(その1)。

拡散方程式 ∂u/∂t = D ∂2u/∂x2

を計算するのに、陽解法、陰解法、クランク・ニコルソン法などをよく使って計算しますが、どれも時間刻みΔtの一次か二次の精度のもの。空間微分を空間刻みΔxの二次の差分で近似すれば、これは常微分方程式系

du(x, t)/dt = D ( u(x+Δx, t) + u(x-Δx, t) - 2*u(x, t) )

になるので、普通にルンゲ・クッタ が使える。ここでは5次のものを使ってみよう。

普通の陽解法ではDΔt/(Δx)^2 < 1/2でないと安定でない。ところがこの方法では安定域が広がってDΔt/(Δx)^2 < 0.92くらいまではなんとか安定化している。計算結果は0.9の場合。

Diffusion001

比較として通常の陽解法の場合を。0.5でもすでにぎざぎざしている。

Diffusion002

最近のコンピュータの性能が上がっているから、もう数値解析の本もいろいろ更新したほうがいい内容がでているなあ。

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