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2010年9月11日 (土)

アルキメデスの家畜問題をPARI/GPで(計算結果編)。

昨日の続き。アルキメデスの家畜問題(Archimedes' cattle problem)を計算する。

白、黒、ぶち、黄のオスの数をW,X,Y,Z、メスの数をw,x,y,zとすると、

W=Z+(1/2+1/3)*X

X=Z+(1/4+1/5)*Y

Y=Z+(1/6+1/7)*W

w=(1/3+1/4)*(X+x)

x=(1/4+1/5)*(Y+y)

y=(1/5+1/6)*(Z+z)

z=(1/6+1/7)*(W+w)

W+Z=a^2

Y+Z=b*(b+1)/2

で、上の7つの式からは、

W=10366482*k, w=7206360*k

X=7460514*k, x=4843246*k

Y=7358060*k, y=3515820*k

Z=4149387*k, y=5439213*k

が得られる。

全部足すと合計は 50,389,082*kとなる。このkを求めればいい。

W+X=17826996*k=2*2*3*11*29*4657*kなので、

k=3*11*29*4657*n^2とかける。

さらにY+Z=11507447*k=7*353*4657*k=m*(m+1)/2

でこれをまとめてkの式に直すと、2*m+1=tとして、

t^2 - a* k^2 =1

ただし、a=2*2*2*3*7*11*29*353*4657*4657

あ、これはペル方程式(Pell's equation)ですね。ということでやっとPARI/GPの出番。前に作ったプログラムが使える。

で計算して、最終的な牛の数は。。。

776027140648681826・・・6719455081800

=7.760271×10^206544

206545桁!!!

で計算結果はこのファイルです。

「Archimedes-cattle-problem.txt」をダウンロード

CRAY-1でこれ計算してプリントアウトしたら47ページになったとか。それが家庭のPCで普通に計算できるんだから技術の進歩はすごいもの。

しかしアルキメデスは絶対この解を得てないよな。フェルマーみたいなものか。

(参考)

http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes'_cattle_problem

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