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2010年10月27日 (水)

普通の電卓で累乗を計算

普通の電卓シリーズ第4弾。

a^x の形(xは整数でない)の数を計算してみよう。といっても

a^x = e^y とおき、両辺に自然対数をとると x* ln(a) = yだから

e^(x*ln(a))を計算すればいい。じゃあこの前の指数関数を計算するのでおしまい、では面白くないのでできるだけ効率よく計算しよう。そのためには普通の電卓とはいっても√くらいのキーはあるといいなと。

では例題。10^3.3を計算してみましょう。eに直すと、(今までの経緯から、eとln(10)はもう計算or覚えるとして。。。)

e^(3.3*ln(10)) = e^(3.3*2.3026) = e^(7.5986) = e^7 * (√e)*e^(0.0986)~

1808.04*(1+0.0986+0.0986^2/2)=1995.1

実際は1995.26なんで、このくらいの精度がでる。

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コメント

どこかで質問されていた話で、4.95^0.71を関数電卓を使わずに求められないかというのがあった。これをやってみよう。
4.95^0.71 = 10^xとでもして、常用対数をとってみる。
x=0.71*log(4.95)
=0.71*log(10*(1-0.01)/2)
=0.71*(1 + log(1-0.01) - log2)
ここでいつものようにlog2 = 0.301030(去れ、一応去れ)
log(1+ε) ≒ ε/ln(10) でln(10) = 2.302585(兄さんを二個焼こ)で計算すると、
x=0.71 * (1-0.01/2.302585-0.301030) = 0.4931852
なので、10^(0.4931852)を求めればいいが、括弧のなかは0.5に極めて近いので
√10 * 10 ^(-0.00681479) =√2×√5×(1-0.00681479*2.302585)
=3.112656
になった。実際は3.112932なんで結構いい。
(√2はひとよひとよにひとみごろ、√5はふじさんろくおうむなく)

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