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2010年10月24日 (日)

平方根しかボタンがない電卓で立方根を計算

昔何かの本で読んだ覚えがある、今ではもう使うことがないようなテクニック。

たとえば、5^(1/3)を計算したいとする。実際の答えは1.709975947・・・です。

まず5√√=を計算し、次にその答えに次々と×5=√√を繰り返す。こんな感じ。

5√√= 1.495348781
×5=√√ 1.653591101
×5=√√ 1.695702001
×5=√√ 1.706396235
×5=√√ 1.709080315
×5=√√ 1.709751995
×5=√√ 1.709919956
×5=√√ 1.709961949
×5=√√ 1.709972447
×5=√√ 1.709975072
×5=√√ 1.709975728
×5=√√ 1.709975892
×5=√√ 1.709975933
×5=√√ 1.709975943
×5=√√ 1.709975946
×5=√√ 1.709975946
×5=√√ 1.709975947
×5=√√ 1.709975947

どういう理屈かというと、二つ理屈を見たことがあって、まず一つ目。

1/(1-1/4) = 4/3 = 1 + (1/4) + (1/4)^2 + (1/4)^3 + ・・・ 

という級数から

1/3 = (1/4) + (1/4) ^2 +(1/4)^3 + ・・・

がわかる。またa^(1/4) はa√√で計算できるから、a√√をまず計算すると

a^(1/4)

これに "×a="とするとa^(1+1/4)。これを√√とるとa^(1/4 + (1/4)^2)になる。

で"×a=√√"を繰り返すと

a^(1/4 + (1/4)^2 + (1/4)^3 ...) = a^(1/3)になります。

もうひとつは、x^3 = aを計算するのに、xを両辺に掛けて

x^4 = a*x

なので、形式的にx=√√(a*x)

になる。なので、これを反復計算とみなす。

最初のxを1と思うと、まずa√√を計算して、それに"×a=√√"を掛けていけばよい。

こっちのほうが、5乗根とかにもすぐ対応できてわかりやすいか。

x^5 = aなら、1/xのボタンがある電卓(あるいはK表示ができるもの)ならx^4=a/xと考えると、

x=√√(a/x)

で計算。

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