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2010年11月 3日 (水)

普通の電卓で常用対数を計算

フォン・ノイマンやフェルミ、またインド人は常用対数表を覚えているという話がありますが、そんなものを覚えられるほど記憶力は私にはありまへん。

そこでなんとか普通の電卓でも常用対数を計算できないかをみてみよう。関数電卓使えば一発なのを使わないのがいいところ。

まず、語呂合わせで覚えているものは、(以降logは10を底とする常用対数とする)

log2 = 0.301030 (去れ、一応去れ)

log3 = 0.4771213 (死なない兄さん) 兄さんは23じゃなくて213。

log7 = 0.8450980 (梯子を配れ)

として、あとは

log4 = 2*log2 = 0.60206

log5 = log10/2 = 1-log2 = 0.69898

log6 = log2*3 = log2 + log3 = 0.7781513

log8 = 3*log2 = 0.90309

log9 = 2*log3 = 0.9542426

log10 = 1 などここまでの整数は簡単。

さてここからが本題。まずは2台から。

log2.1 = log21/10 = log(3*7/10)= log3+log7 - 1 = 0.3222193

log2.4 = log( 3 * 8 / 10)= log3+3*log2-1 = 0.3802113

log2.5 = log10/4 = 1-2*log2=0.39794

log2.7 = log(3^3/10) = 3*log3-1=0.4313639

log2.8= log(4*7/10) = 2*log2+log7 - 1 = 0.447158

は簡単。あとは

log3.2 = log (2^5/10) = 5*log2 - 1=0.50515

などなど、簡単な積商であらわされるものはOK。あらわされないものはどうしようか。

log 11 は覚えるという手もあるが、テイラー展開行ってみよ。でも1次までという制限付きにしましょう。なら

log (1+x) ≒ x/ ln(10)

だ。さすがに覚えられる。ここで

ln(10) = 2.302585 (兄さんを2個焼こ) - 兄さんはいつも災難。。。

か、

1/ln(10) = 0.4343(よさよさ?) こっちのほうが覚えやすいか。

log 11 = log10 (1+1/10) =1.04343

実際は1.04139なんでちょっと精度が悪い。

もっと近似のいい別の形のテイラー展開を使おう。

ln(x) = ln ((1+y)/(1-y)) ≒ 2*y = 2*(x-1)/(x+1)なんで、

log(x) = 2*0.4343*(x-1)/(x+1)

これでlog11 = log 10*11/10 = 1 + log1.1 = 1+2*0.4343*0.1/2.1=1.04136

これなら十分かな。

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