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2010年11月 4日 (木)

普通の電卓で弧長と弦長から半径、矢高、中心角を求める。

普通の電卓シリーズ。だいぶ前から高精度計算サイトkeisan.casio.jpに自作式として弦長、弧長、矢高、半径、中心角のどれか2つを与えて後の量を計算する、というものをUPしている。

リンクはこちら↓

円の弧長,弦長,矢高,半径のどれか2つを与えて残りを計算

なんでこんなものを作っているかというと、同サイトの掲示板でやたら質問が多いからなのだが、そういう質問をする人に限ってせっかく作ってもなんのレスポンスもないorz。ま、そんなことはどうでもいい。今回は普通の電卓で計算することが主眼。

中心角をθ,半径をRとすると、

弧長 L = R*θ、弦長 c =2*R*sin(θ/2), 矢高(弧の高さ) h = R*(1-cos(θ/2))

となる。そこで弧長と弦長から他の量を出してみよう。Rを消去して、α=θ/2、d=c/Lとおくと、

sinα/α=d

となる。これをまず解いてみよう。keisan.casio.jpではニュートン・ラフソン法を使ったが、普通の電卓でsinすらないんで、ここはテイラー展開かな。

(α-α^3/6 + α^5/120+...)/α = dなんで、3次まで取ると

1-α^2/6≒d

なので、θ ≒ 2√6*√(1-c/L)

一応、√はある電卓は仮定しましょう。R=L/θ、h≒R*θ^2/8 =L*√6*√(1-c/L)/4

などから計算できる。

たとえば、c=1000,L=1002ならh≒27.41になった。実際はh=27.39なんで結構いいかな。

c/Lが1に近いこと(つまりθが小さいこと)が前提の計算だけれど。外れると反復計算しないと難しいな。

*11/23追記

 この方法より高精度な方法を新しく書きました。こちらです。↓

 http://sci.tea-nifty.com/blog/2012/11/post-54fa.html

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