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2010年11月10日 (水)

普通の電卓で逆三角関数を計算

また普通の電卓シリーズ。さて、逆三角関数の問題は「テイラー展開が覚えられない」だ。でも微分自体は簡単で、それは

y=arcsin(x) ⇔ x = sin(y) で

dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/cos(y) = 1/√(1-sin^2(y)) = 1/√(1-x^2)

なんで、普通に微分していけば求められるが、極めてめんどくさい。そこで覚えている

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! + ...

からなんとか逆に求めよう。

arcsin(x) = x + a*x^3 + b*x^5+...の形のはずなんで

x=sin(x+a*x^3 + b*x^5+...) = (x+a*x^3+b*x^5+...) -(x^3 + 3*a*x^5+...)/3! + (x^5 + ...)/5!+...

  = x + (a-1/3!) *x^3 + (b-(3/3!)*a+1/5!) *x^5+...

なので、a=1/3!=1/6

           b=a/2-1/120 = 3/40

それでarcsin (x) = x + x^3/6 + (3/40)*x^5+...

で計算できる。まあ微分を繰り返すよりはちょっと速い。

ではx=0.5を計算してみよう。

arcsin(0.5)=0.523177...

実際はπ/6=0.523599...なんで結構いい感じか。

arcsin(0.1) = 0.100167はこの精度でOK。

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