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2010年12月 8日 (水)

ヤコビの楕円関数をExcel ワークシートだけで計算

楕円関数のイメージが全然わかないんですが、それはほとんど使うことがないからというのと、三角関数や対数関数はExcelや関数電卓で簡単に計算したり、図示したりできるのに楕円関数はそうじゃないということかな。

そこで、楕円関数をExcelのワークシートだけで図示してみたら、少しはイメージわくかなとやってみる。楕円関数といってもいろいろあるけど、まだなじみがあるのは大振幅振り子の計算でも出てくるJacobiの楕円関数sn,cn,dn。さてどうやって計算するかですが、算術幾何平均を使う面白い方法があるらしいが、ここは簡単に図示できるものがいいなあ、と思っていたらこういう関係式があるそうだ。

sn'(u) = cn(u)*dn(u)

cn'(u) = -sn(u)*dn(u)

dn'(u) = -k^2 * sn(u)*cn(u)

('はuに関する微分)

これを連立微分方程式を見て計算するなら簡単だ。sn(0)=0,cn(0)=1,dn(0)=1として、

sn(i+1) = sn(i-1) + 2*Δu * cn(i) * dn(i)

などのようにセルに入力していればΔuの2乗のオーダーまで計算できる(オイラー法を最初つかったけれど、いきなりsnが1を超えた。。。だめだめ)

で計算した結果がこちら。上からk=0, 0.5, 0.9, 0.999です。

なるほど、こんな形の関数なのか。

Jacobik000

Jacobik050

Jacobik090

Jacobik0999

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