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2012年6月27日 (水)

16歳の子がNewton以来300年解けなかった微分方程式を解いたという誤報がありましたが、結局何があったかというと、、、

結構大きく取り上げられた記事で、このブログでも取り上げたものですが、、、

大人げなく(?)その大学の先生たちが調べてみたら、そんな新しい話ではなかったということ。

で、結局そもそもRayくんが何をやったか、原論文がないので(私も含めて)適当なことを言っていたわけですが、その先生の4ページの報告を見た結果、だいたいわかりました。

まず解くべき式は、

u' = -u * √(u^2 + v^2)

v' = -v * √(u^2 + v^2) - g

でして、抵抗を受けながら落ちていく玉のようなもののモデル化。抵抗が単に速度に比例していないというのがポイント。

まずは√の中を”定数”のように思って積分すると、

[exp(∫√(u^2 + v^2) ds * u )]'  = 0

[exp(∫√(u^2 + v^2) ds * v )]' = -g * exp(∫√(u^2 + v^2) ds)

なので、ここで

Ψ = ∫exp(∫√(u^2 + v^2) ds) dτ

とか置くと、

u = u0/ Ψ'

v = (v0 - g * Ψ) / Ψ'

と書ける。つまり、Ψが分かれば(u, v)が解析的に解けた、ということになるでしょう。

ここで、φ=(v0 - gΨ)/Ψ' = v/uと置く。

ぐだぐだと計算すると(v/uの形で計算したほうが簡単)

φ'' = g√( 1 + φ^2)

さてφ'を両辺にかけて、それを一回積分して、(この√の積分は誰でも一回はやったことのあるおなじみのものでしょう!)

φ' = (g*φ*√( 1 + φ^2) + g* arcsinh(φ) - c) ^1/2

とかいう形になる。

さらに積分して、

∫dx/(g*x*√( 1 + x^2) + g* arcsinh(x) - c) ^1/2 = t

です。こういう形はすでにParkerさんが1977年に出した!とのこと。

で、この積分範囲にφ(t)が入るわけですが、このままでは陽にかけない。

そこで、Dominiciさんが2003年に提出した方法、φをtのべき級数と思って展開し、

この積分を計算する方法を使ったそうです。φがわかれば、結局u,vもわかる(tのべきで)。

それをルンゲクッタと比べてあー、合った!というのがrayくんの話らしいです。

この方法以外にもベルヌーイ方程式に変形して解く方法もすでに大昔からあると、、、

Rayくんは同様に

z'' = -z ' - z^(3/2)

も計算したとのことですが、これも同じ…

先生たちは”日本人の教科書でこのような方程式が解かれていない、とか調べないで変なこと書くからRayくんがだまされたんだ”のようなことを書いています(一部、誇張あり)。

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