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2012年8月11日 (土)

ほとんど整数のe^(π√163)よりほとんど整数(j-function)

マーチン・ガードナーが1975年のエイプリル・フールで

e^(π√163) = 262357412640768744

整数です!という記事を書いたそうで

In a 1975 April Fool article in Scientific American magazine,[7] "Mathematical Games" columnist Martin Gardner made the (hoax) claim that the number was in fact an integer, and that the Indian mathematical genius Srinivasa Ramanujan had predicted it—hence its name.

例えばExcelでこれ計算すると、262537412640768000となってそもそも桁が足りない、、、

案外役立つwindows付属の関数電卓では、

262537412640768743.99999999999925

とちゃんと計算できた。でここからが本題。もちろん、これは整数に近い理由があるわけで

http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

j-functionは実は本当に整数(の3乗)。

j関数の展開式も出てるので、それを使えばさらに整数に近い数が作れる。

Numberedequation8


を使わしてもらいます。桁数が多すぎるのでここはPari/GPの出番。200桁で。

exp(Pi*sqrt(163)) =
262537412640768743.99999999999925007259719818568887935385633733699086270753
74103782106479101186073129511813461860645041930838879497538640449057287144771968
1485232243203911647829148864228272013117831707

exp(Pi*sqrt(163))+196884*exp(-Pi*sqrt(163)) =
262537412640768744.00000000000000000000000000031183868722222759261344301063
63273077296341724069688395491126368604015955040240926177045869446989418473225035
0720926683047955966722561625673955911820669341

exp(Pi*sqrt(163))+196884*exp(-Pi*sqrt(163))-21493760*exp(-2*Pi*sqrt(163))=
262537412640768743.99999999999999999999999999999999999999999995223707717705
44813494745854767172976925202706070544892105091898361319268859213127823398689913
8643390121498965607311297538792516467643919941

exp(Pi*sqrt(163))+196884*exp(-Pi*sqrt(163))-21493760*exp(-2*Pi*sqrt(163))+864299970*(exp(-3*Pi*sqrt(163)) =
262537412640768744.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00042615868688296986148099745859001077087822167703187254032759651249029648361787
7304614501530412785579877859460056178720193172

exp(Pi*sqrt(163))+196884*exp(-Pi*sqrt(163))-21493760*exp(-2*Pi*sqrt(163))+864299970*(exp(-3*Pi*sqrt(163)) -20245856256*(exp(-4*Pi*sqrt(163)) =
262537412640768743.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999997328516906141896603310236540585235091736333942998851174414848
3919891034592607199588243071997634163804581367

exp(Pi*sqrt(163))+196884*exp(-Pi*sqrt(163))-21493760*exp(-2*Pi*sqrt(163))+864299970*(exp(-3*Pi*sqrt(163)) -20245856256*(exp(-4*Pi*sqrt(163)) +333202640600*(exp(-5*Pi*sqrt(163)) =
262537412640768744.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000129851936431968944632813475514732127760264377
7750322177257410856909652902171872952816719596

数字ばっかりで気持ち悪くなってきた。。。

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