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2012年11月15日 (木)

数学のピカールの定理(Picard theorem)って?(ピカルの定理じゃないよ)/ピカールの大定理?(ピカルの大定理)

私も好きでよく見ている番組、ピカルの定理。

http://www.fujitv.co.jp/picaru/index.html

このタイトルのもとになったのがピカールの定理だと思うのだが、公式には否定されているそう。だが、誰がタイトルを決めたか知らないですが、渋いな。理系の人ですよね。

大学2回生くらいで複素解析とか勉強していると知ることになる定理でしょうか。

さて、ピカールの定理には大定理と小定理があって、大定理が基本。

数学的には厳密じゃない説明するのですみません。

まず複素平面上の点z0を中心とした半径Rの円の内部をDとでも表しておく。でDからz0を取り除いたものをD*とかしておく。

あと準備として、真性特異点って何?というのを説明しておくと、例えばf(z)=sin(1/z)を考えると、z=0の回りで展開すると1/z^nの形のべきが無限に出てくる(適当)。これが真性特異点。

でピカールの大定理は、

”f(z)がD*で正則、z0が真性特異点なら、f(z)は高々1つの値を除いて他のすべての点を無限回とる”

というもの。

例えば、、、f(z) = exp(1/z)とすると、z=0が真性特異点だが、

exp(1/z) = u (uは任意の複素数、ただし0を除く)

とするとz=1/(log|u| + i(arg(u)+2πn))と選ぶとuが得られるということで、0以外のどんな値も得られる。

*高校生くらいの人はあれ?e^xって0から∞しかとらないんじゃ、、、と思うかも知れませんが、複素数まで考えると大丈夫なんですよ。exp(z) = exp(x+iy) = exp(x)*(cos(y) + isin(y))で。

しかしこれ、示唆的だな。

つまり、”高々一つの役を除いては”どんなコントの役もできる可能性がある芸人さんががそろっている!ということを示しているのか!

ってその一つって何?

というか真性特異点が誰かいることが前提なので、その芸人さんって誰でしょうか?

私は渡辺直美さんと平成ノブシコブシの吉村さんファン。

まあ実際は光る、という言葉をもじっただけでしょうが、、、

ちなみにこの人がピカールさん。

Picard_emile_4

Charles Émile Picard。私にはピカールの逐次近似の方がおなじみ。微分方程式ファンなので、、、

スタートレックTNGの艦長もピカードと呼ばれてますが、本当の読みはピカールだよな、、、頭が、、、

---

9/4追記: なぜかこの記事のアクセスが増えたと思ったらピカルの定理が最終回で、次はピカルの大定理で会いましょう、ってことになったみたいですよ。

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