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2012年12月23日 (日)

ギブス現象をGeoGebraで見てみる(無限と有限の越えられない壁)

矩形波をフーリエ級数に分解すると、

sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ...

となるのはよく知られている。ただし、、、200項までGeoGebraで足し合わせた結果は、、、

(y = Sum[Sequence[sin((2n+1)x)/(2n+1),n,0,200]]で計算できます)

Gibbs01
あれ?なんか不連続の部分で飛び上がってる?というのがGibbs現象。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AE%E3%83%96%E3%82%BA%E7%8F%BE%E8%B1%A1

拡大すると、

Gibbs02


0.92~0.93くらいまで飛び上がってる。

これはいくら足し合わせる数を増やしても同じ。理論的に

(1/2)*∫[0,π]sin(x)/x = 0.9259685259...

だけ飛び上がる。これが有限和と、無限級数の越えられない壁だ。

これもGeoGebraで計算できますが、NIntegral[sin(x)/x,0.0...0000001,π]/2とかしないと積分計算できない。

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