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2012年12月27日 (木)

高木関数が出るラプラス方程式をGIFアニメで。

以前にも書いたけれど、”無限・カオス・ゆらぎ”という本を読んで若いころ影響をうけました。

その中でいちばんおもしろかったのは、差分化の方法によっては元の微分方程式とは似ても似つかないカオス解が出ると言うところで、その関連として”変なラプラシアン”というのが書いてありました。

(こちらの文献でも同様な話が読めます。

http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/92310/1/KJ00004774034.pdf

ラプラス方程式は、ΔF(x)=0ですが、一次元だと単にd^2 F / dx^2 =0。

単純な差分化だとF(x) = 0.5 * (F(x+Δx) + F(x-Δx))

なのですが、、、

F((2i+1)/2k+1)=0.5*(F(i/2k)+F((i+1)/2k)) + Ck

というように書きなおしてみる。つまりあるkの点列が得られたとき、次のk+1ではある点のデータは前のkの値で、その点と隣り合ったデータを使って求めると見る(マルチグリッド、、、)

でCk=1/2^(k+1)と選ぶ。Ckはk→∞では消えるはずの項。

(山口さんは、これはポアソン方程式じゃなくて変なラプラシアンだと言いきってますが。)

でkをだんだん増やして行った時のExcelのグラフをGIFアニメにしたのがこちら。

Takagi

kが大きくなるにつれて高木関数に。初めてこれを見た時は面白かったなあ。

GIFアニメにはGIAMを使わせてもらいました。

http://homepage3.nifty.com/furumizo/giamd.htm

わざわざ画像データをファイルとして落とす必要すらなく、エクセルでグラフを選択して張り付ければいいだけできわめて簡単。

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