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2013年1月14日 (月)

Fermi-Pasta-Ulam問題(FPU問題)で、振動子の動きをGIFアニメで見てみる。

非線形の再帰現象のさきがけとなったフェルミ・パスタ・ウラム問題。

http://oldweb.ct.infn.it/~rapis/corso-fsc2/FPU-recent-review-Ruffoetal05.pdf

一次元調和振動子を弱く非線形結合(2次や3次)して、最初に1つのモードにエネルギーを与えたら、全部のモードに分配されるかな?と思ってやってみたら最初のモードに戻ってしまったというもの。

例えば2次で結合する以下の方程式で、、、

d2xi/ dt2 = (xi+1 + xi-1 - 2xi) + α[(xi+1 - xi)2- (xi - xi-1)2]

α=1/4、N=64としてシンプレクティック8次でモード毎のエネルギーを計算(もちろんExcel VBAを使用)した結果がこれ。

だいぶ前にやったものの再掲

最初のモードからいろんなモードにはエネルギーは行くものの、いつか戻ってくるという。

Fpunew01

*FermiたちはMANIACというコンピュータでleap frog法で計算したそうです。

でこれはエネルギーの話。実際の振動子がそれぞれどう動いているか全くわからん。GIFアニメを作ってみた。

Fpu_2

正弦波からだんだん気持ち悪くなっていく様子がよくわかる。ココログのアップロードファイルサイズ制限で長時間は表示できないので↓に静止画を。

各モードのピークになる時間でプロットしてる。

Fpunew02_2

シンプレクティック8次のお話はこちら。

http://sci.tea-nifty.com/blog/2009/04/8excel-vba-7680.html

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