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2013年1月31日 (木)

ロジスティック写像のリアプノフ指数をPARI/GPで計算

昨日と一昨日、ロジスティック写像でちょっとだけ初期値が違っただけで何回も繰り返すと全然違う値になる、というのをGIFアニメにしてみた。

こういうのをちゃんと調べるのにリアプノフ指数を使う。

位相空間内の2つの軌道の初期の差をδZ(0)とでもすると、tだけ離れたδZ(t)の間に

|δZ(t)| = exp(λt) |δZ(0)|

のような形になって、λ>0ならどんどん指数関数的に最初の差が拡大されることがわかる。

このλがリアプノフ指数。

ロジスティック写像 xn+1 = f(xn) = a*xn*(1-xn)の場合は、

λ = lim (1/n)Σlog |f ' (xj) |

*limはn→∞、Σはj=0 to n-1

と書ける。これをPARI/GPで計算してみると、、、

Lyapunov

こんな感じ。

この前から計算しているa=3.9の場合はλ~0.495927>0なのでどんどん初期値からずれる。

exp(0.495927*繰り返し回数)=引き延ばしとしてグラフにすると、

Lyapunov2

のようになって、50回だと10^12くらい、400回だと10^100くらい引き延ばされるので初期値はそれより誤差が小さくないとだめ、というのがわかる。



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