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2013年1月19日 (土)

微分方程式の数値計算が差分のやり方によってはめちゃくちゃになる例

ロジスティック方程式

dy/dx = y*(1-y)

は一見簡単。しかも厳密解もある。これを数値計算しようとして、

①オイラー法(前進差分)

   yn+1 = yn + Δx * yn * (1-yn)

を使ったり、もっと精度がいい方法を、と

②中心差分

yn+1  = yn-1 + 2*Δx * yn * (1-yn)

で計算してみたりすると、、、(GIFアニメにした)

Logisticeq

あれ?精度のいいはずの中心差分がむちゃくちゃ!これはカオスだと証明されているそう。

これを私は山口昌哉さんの本で初めて知って恐ろしくなった。

精度を上げたからといって正確な計算ができるわけではないという。

*ただ、上のGIFアニメにはルンゲクッタ8次のDOP853も書いてますが、これは厳密解とぴったり重なってます。さすが。

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