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2013年12月30日 (月)

ある数が1桁の数の何倍か?というのをぱっとわかる方法(昨日の朝日新聞(数と科学のストーリー)隠れた倍数 パッと判定見て)

http://www.asahi.com/articles/ASF0TKY201312280369.html

どうやって証明すんだっけ?と年の瀬も押し迫ってそんなことしてる場合じゃないけど考える(現実逃避、、、)

・2の倍数かどうか? これは下一桁が偶数かどうか。

・3の倍数かどうか?各位の和が3の倍数になっているかどうかを見ること。

10^k *Ak + 10^k-1 *Ak-1 + ...+10*A1 + A0

=(99...9)*Ak+Ak + (99...9)*Ak-1 + Ak-1 + 99*A2+ A2 + 9*A1+ A1 + A0

=3*((33..3)*Ak+3*A1) + Ak + Ak-1 + ...+ A1 + A0

なので、各位の和が3の倍数なら全体も倍数。

例で出たのは142857->1+4+2+8+5+7+=27で3の倍数。

・4の倍数かどうか? 

10^k *Ak + 10^k-1 *Ak-1 + ...+10*A1 + A0

=100* (なんとか) + 10*A1 + A0 = 4*25*(なんとか) +10*A1 + A0

なんで、結局下二桁が4で割れるかどうかみたらいい。

例は3620->20なんで割れる。

・5の倍数かどうか?下一桁が0か5。

・6の倍数かどうか?2の倍数かつ3の倍数なので、下一桁が偶数かつ各位の和が3の倍数。

・7の倍数かどうか?これがめんどくさい。

100以上の数の2倍+下2桁が7の倍数?

100 = 98 + 2  =7*14 + 2 、1000=980+20=7*140+20, 10000=9800+200=7*1400+200...というのを使う。

10^k *Ak + 10^k-1 *Ak-1 + ...+10*A1 + A0

= 7*14*(なんとか)  + 2*10^(k-1)*Ak + 2*10^(k-2)*Ak-1 + ...+ 2*A2    + 10*A1 + A0

なので、100以上の数を二倍したものと、下二桁を足して7で割れればOK.

例で出ていたのは11963は119*2+63=119*2+63=301で、、、さらに301 は3*2+1=7なんで割り切れる。

・8の倍数かどうか? 4の倍数に似てますが、1000が8で割り切れることを利用する。

10^k *Ak + 10^k-1 *Ak-1 + ...+10*A1 + A0

=1000* (なんとか) + 100*A2+ 10*A1 + A0 = 8*125*(なんとか) +100*A2+10*A1 + A0

なんで、下3桁が8で割り切れる、、、でもいいけど朝日新聞に出ていたのは

100の位を4倍したものと下4桁を引き算するという方法。もし100*A2+10*A1+A0=pとかけているなら、

|4*A2 - (10*A1 + A0)| = |4*A2 - (p-100*A2)|  = |104*A2-p|=|8*13*A2-p|なんで、

これが8の倍数なら全部8の倍数。

例は10704-> 4*7 - 4 =24なんで倍数。

・9の倍数かどうか?

=(99...9)*Ak+Ak + (99...9)*Ak-1 + Ak-1 + 99*A2+ A2 + 9*A1+ A1 + A0

=9*((11..1)*Ak+3*A1) + Ak + Ak-1 + ...+ A1 + A0

なんで、今度は各位の和が9の倍数

AMラジオの周波数もそうなっているという。

宿題に出ていた20140101は、全部の数を足すと9なので、3の倍数でもあるし、9の倍数でもある。

 

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