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2014年1月21日 (火)

ささやきの回廊モードのお話。

この前石油タンクで残響世界記録があったのを見て思い出した。

ささやきの回廊(ウィスパリングギャラリ=Whispering Gallery)というのがある。

セントポール大聖堂が有名で、ドームの一方から話した声が反対側まで届く、というもの。

あのレイリー卿が解析したのも有名、、、The theory of soundのII巻に載ってるらしいが、、、読んだことない。。。

http://exshare.lightsource.ca/farir/Topics%20in%20Coherent%20Synchrotron%20Radiation%20CSR%20Works/R.%20Warnock.pdf

に解析した結果が載ってます。ベッセル関数が出てくる。しかしもう少し簡単な解析が

”非線形波動の古典解析”で紹介されていた。ケボルキアンとコールの特異摂動による解析でAiry関数がでてくるもの。

音波の速度ポテンシャルは波動方程式を満たす。∂^2φ/∂t^2 =c^2 ∆φ。

これを球面座標に直して、境界条件としてドーム表面r=a で∂φ/∂r=0、かつ原点で正則とする。境界層変数s = (r-a)/εaを定義して、いろいろ計算すると、、、(本見てください)。

最終的にφ(s) = Ai (-(s+Ω))と得られる。ここでΩはdAi(-x)/dxのゼロ点でAiはエアリー関数。

このゼロ点はカシオの高精度計算サイト、keisan.casio.jpで簡単に計算できる。これ。

エアリー関数の1次微分Ai', Bi'(ゼロ点)

で4つばかり計算すると、

1.018792971647471089017、3.248197582179836537875、4.820099211178735639401、6.163307355639486547638 となる。

同じくカシオのサイトで解を図示すると、

Wgm


で、最初のモードがsが小さいところに集まっているので減衰しないで届くという。

このサイトも参考になります。↓

http://kino-ap.eng.hokudai.ac.jp/j-WG.html

光を遅くするという応用も。

http://www.sci.shizuoka.ac.jp/sciencecafe/news/20120302.pdf

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