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2014年5月31日 (土)

健康診断で腹囲測定(メタボ検診)があって、ふと超楕円(ラメ曲線)の円周の長さはどうなるか計算した。でカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpに自作式をUP.

先週、会社の健康診断があったのだが、腹囲測定、要するにメタボ判断をするのがあった。私ももうおっさんなんで気にはなる、、、が、結局、お腹は何cm出っ張ったか円周を測ってもよくわからん。

人間を円柱でモデリングするのがたまにあるが、我々はドラえもんじゃないっつーの!

では楕円?というと楕円よりはもう少し長方形に近いか?

ということでそれをモデリングするために、超楕円(ラメ曲線)を考えて、その円周と半径などの関係を見ようとおもった。

|x/a|^n + |y/b|^n = 1 

という式ですよ。こんな感じのグラフ。

Superellipseperimeter

でこの円周の長さ、厳密解あるかな?とか思ったが、そもそも楕円の場合もここから楕円関数が出てきたのでそれを拡張したようなものがあっても計算には役立たない(結局その関数を数値積分したり、、、級数の形はあるみたいですが。)。そこで数値積分することに。

ただ、これx=aで微分が発散するので普通に計算しにくい(n=2のときは簡単に出来るので油断してた。ここでハマった)、、、ので弧長を分割して足し合わせることにした。

面積の方は厳密に計算できる。これも楕円と同じ。

http://en.wikipedia.org/wiki/Superellipse

で、これをカシオの高精度計算サイトに自作式としてUPした。こちら。

超楕円(ラメ曲線)の円周の長さと面積

"

超楕円(ラメ曲線) |x/a|^n + |y/b|^n = 1 (n=2の時は通常の楕円)
の円周と面積を計算します。

円周は数値積分で、面積はΓ関数を使った厳密解があるのでそれを使用しています。

"

というもの。

では最初のメタボの例に戻ると、私じゃない人のサイズで計算してみよう。

横幅34cm(a=17), 縦幅14cm(b=7)、n=3で計算すると、腹囲は83.1cmとなる。

この人がお腹がでて、ほぼ縦だけ2cm(半径は1cm)増えたとすると?腹囲は86.0cmに。

なるほどこんな感じの増え方。気をつけよう。。。

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