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2014年8月31日 (日)

8/31の朝日新聞 桜井進の数と科学のストーリーは、ラマヌジャンのタクシー数を生み出す恒等式

ハーディとラマヌジャンのタクシーナンバーの逸話(1729=1^3+12^3 = 9^3+10^3)は有名ですが、

http://www.asahi.com/articles/DA3S11325549.html

によると、それを生み出す恒等式をラマヌジャンが見つけたというもの。これは知らなかった。

ということでそれをカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpに自作式として作ってみた。

こちら。

ラマヌジャンのタクシー数を生み出す恒等式

"(x^2+9*x*y-y^2)^3 + (12*x^2-4*x*y+2*y^2)^3=(9*x^2-7*x*y-y^2)^3 +(10*x^x+2*y^2)^3
というラマヌジャンが発見した恒等式でx=1,y=0ならラマヌジャンが入院中にタクシーの
ナンバー1729を聞いて1729=1^3+12^3 = 9^3+10^3と即座に答えたものが再現できます。 "

例えばx=2,y=0を入れると次のようになった。

110656
=
4
^3+
48
^3=
36
^3+
40
^3=
110656

なるほど。 さらにWolfram Mathworldを見たら、Taxicab Numberはさらに拡張されていて、

Weisstein, Eric W. "Taxicab Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/TaxicabNumber.html

Ta(n)が3乗数のn個の和であらわされる最小のもの、になっている。

だからn=2がラマヌジャンが見つけたもの、そして今は

n=6まであるとか。

Ta(6) = 24153319581254312065344
(19)
= 28906206^3+582162^3
(20)
= 28894803^3+3064173^3
(21)
= 28657487^3+8519281^3
(22)
= 27093208^3+16218068^3
(23)
= 26590452^3+17492496^3
(24)
= 26224366^3+18289922^3
(25)

(Calude et al. 2003, Hollerbach 2008).

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