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2014年12月13日 (土)

電卓で√を何回も押すと1になっていく、、、というのを使ったら対数計算が精度よく出来るのを知ってますか?

円周率の定義は…大人が間違える子供の算数

という記事を見た。

その中で"電卓でどんな数でも√を何度も押すとなぜ1になるの?"という話があったが、

lim a^(1/2^n) = 1     (a>0)  

n→∞

から来てますが、誰でも一度は電卓でこれをやったことがあるんじゃないだろか。で、これ自身に何も有用なことはない、と思っているそこのあなた!実はあるんですよ。

それは前にも書いたことがあるが、対数計算を関数電卓を使わずに出来るのだ。

どうするかというと

log a = log (√a)^2 = 2*log√aですよね。これを繰り返すとどうなるかというと

log a = log (√√・・・√a) ^(2^n) = 2^n * log (√√・・・√a)ですが、

logの中身は√を繰り返していると十分に1に近くなる。そうすると、logの近似計算が精度よく出来る。

log (1+x) = x - x^2/2 + x^3/3-...と

log(1-x) = -x -x^2/2 - x^3/3-...

をひいて log (1+x)/(1-x) ≒ 2*x となる。

(1+x)/(1-x) = bと置くと、x = (b-1)/(b+1) ということで、これまでをまとめると、

b=√√・・・√a (n回繰り返して十分1に近くする)として

log a ≒ 2^(n+1) * (b-1)/(b+1)

となるのです。では例題やってみよう。log 11を計算する。n=8として、

b=1.009411

となって、log 11 ≒512 * (1.009411-1)/(1.009411+1) = 2.397877741

実際は2.397895273なのでなかなかの精度が出てる。もちろん、もっとnを増やせば精度は向上します。

まあ、、、関数電卓使えばいいだけだけれど…

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