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2015年3月25日 (水)

体積が有限で、表面積が無限大というガブリエルのラッパ。

まずはGoogle検索で、

z=1/(x^2+y^2)^(1/2),x is from -1 to 1, y is from -1 to 1, z is from 1 to 100

を検索してみると?

Gabriel


これがガブリエルのラッパ(Or トリチェリのラッパ)

f(x)=1/x をx>=1の部分でx軸の周りに回転したようなもの。

なので体積はx=1~aとすると

V=π∫f(x)^2 dx = π∫dx/x^2 = π[-1/x] = π(1-1/a)

表面積は

S=2π∫f(x)√(1+[f'(x)]^2)dx = 2π∫(1/x) * √(1+1/x^4)dx

ですが、これは

S>2π∫ dx/x = 2πln(a)

になる。

なのでa→∞ならV=πだが、Sは∞に。

これが面白いのは、ペンキを塗る話。この図形の中にペンキを入れるとその量は有限だが、表面を塗ると?というパラドックス。

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