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2016年3月30日 (水)

sin(666°) = cos(6・6・6°) = -φ/2 (φは黄金比 (1+√5)/2))だって。

日本人には666はそんなに恐ろしい数ではないけれど、これはちょっと面白い。
sin(666°) = cos(6・6・6°) = -φ/2
が成り立つって。
じゃあ見てみよう。
まず sin(666°) = sin(720° - 54°) = -sin(54°) = -sin(90°-36°) = -cos(36°)
そして cos(6・6・6°) = cos(216°) = cos(180°+36°) = -cos(36°)
ということで、結局cos 36°を計算すればいいということが分かった。
これは結構おなじみの計算らしい。
ここからちょっとトリッキー。
180° -3*36° = 2 * 36° が成り立つ。これのsinを取ると
 
sin(3*36°) = sin(2*36°)
ですが、3倍角と2倍角の公式から
3*sin(36°) - 4*sin^3(36°) = 2*sin(36°) *cos(36°)
なので、3-4*(1-cos^2(36°) = 2*cos(36°)
x=cos(36°) と置くと、、、
4*x^2-2*x-1=0
これは簡単に解けて、x = (2±√(2^2+4*4))/8 = (1±√5)/4
だが、cos36°はもちろん0と1の間にあるので、
答えは
cos36°= (1+√5)/4
ですが、黄金比 φ= (1+√5)/2を使うとこれは
cos36° = φ/2
となる。
なので結局
 
sin(666°) = cos(6・6・6°) = -φ/2
に。
結構面白い計算ですね。
 

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