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2016年6月11日 (土)

御香宮(京都・伏見)の算額の問題を数値計算(ニュートン・ラフソン法)してみる(そしてカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpにUP!) #数楽

この前、御香宮で算額を見た! という話を書いた。これを現代風に計算してみたい(八坂神社に当時の解答があるそうですよ)。こんな算額です。
20160528_133945
これをわかりやすく書くと、
甲・乙・丙の3つの正方形(ただし甲>乙>丙)があって、各面積の和がある値、 甲の1辺の3乗と乙の1辺の5乗と丙の1辺の7乗がある値をとり、さらに甲の1辺から乙の1辺を引いた値と 乙の1辺から丙の1辺を引いた値は同じ。では甲・乙・丙の1辺の長さは?
というもの。
によると、乙の5乗根の70次方程式になるとか。
私も試してそうなることはわかった、、、がこんな計算するよりも今なら普通にニュートン・ラフソン法で解いた方が楽。やってみよう。
乙の1辺の長さをx, 甲と丙との差をyとすると(甲=x+y, 丙=x-y)、
まず面積の和がある値を取るというのは、
(x+y)^2 + x^2 + (x-y)^2 = a
と書ける。これは
3*x^2 + 2*y^2 =a
となる。
次の条件、甲の1辺の3乗と乙の1辺の5乗と丙の1辺の7乗がある値をとる、というのは
(x+y)^3 + x^5 + (x-y)^7 = b
となる。で、最初の条件とこれからyを消去すると、xの14次方程式になる、、、がこれでは無駄に大きな数が出てきて精度が落ちるので、消去するより2式のままで計算する。
 
つまり、、、
f(x) = 3*x^2 + 2*y^2 - a
g(x) = (x+y)^3 + x^5 + (x-y)^7 - b
として、
二次元のニュートン・ラフソン法を使う。例えば
を参照。ヤコビ行列も簡単に計算できるので、これはニュートン法が楽だ。
初期値はどうする?というと、yが小さいとして近似計算しよう。
x≒√(a/3)
y≒(b-x^3-x^5-x^7)/(3*x^2-7*x^6)
は容易に計算できる。
ではここまでまとめてカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpに自作式としてUPしてみた。
これ。
 
こんな感じで計算できます。

面積の和
(甲の1辺)^3+(乙の1辺)^5+(丙の1辺)^7

甲の1辺
3
乙の1辺
2
丙の1辺
1

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2016 年は 終結しました が 以下 

∩Q[y] を

終結式を 何とか正直に 行列を隠匿することなく 晒し;


x^2+(x-y)^2+(x+y)^2=14,x^5+(x-y)^7+(x+y)^3=69 の 場合;


2 0 -14+3 x^2 0 0 0 0 0 0
0 2 0 -14+3 x^2 0 0 0 0 0
0 0 2 0 -14+3 x^2 0 0 0 0
0 0 0 2 0 -14+3 x^2 0 0 0
0 0 0 0 2 0 -14+3 x^2 0 0
0 0 0 0 0 2 0 -14+3 x^2 0
0 0 0 0 0 0 2 0 -14+3 x^2
-1 7 x -21 x^2 35 x^3 1-35 x^4 3 x+21 x^5 3 x^2-7 x^6 -69+x^3+x^5+x^7 0
0 -1 7 x -21 x^2 35 x^3 1-35 x^4 3 x+21 x^5 3 x^2-7 x^6 -69+x^3+x^5+x^7

------行列 ↑ 好き の 日本人 -----Det----->

78125 x^14-1524946 x^12+12775644 x^10-59533432 x^8-434976 x^7+166669312 x^6+4526400 x^5-285667200 x^4-2967552 x^3+286630400 x^2-42782208 x-100545408

上=0 の  近似解 を 求め 獲た 顛末;

2.80253652699360520018134755852439710366253286368869072065805034804215

2.07756537451465807395148180587774933873444042498479613899841739253351

1.35259422203571094772161605323110157380634798628090155733878443702487

      __桁 だ と 桁ケタ お笑い 下さい。

2016 年は 終結しました が 以下 

(x^2+(x-y)^2+(x+y)^2-14,x^5+(x-y)^7+(x+y)^3-69)∩Q[y] を [が消滅しておりましたので]

終結式を 何とか正直に 行列を隠匿することなく 晒し;

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