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2016年8月 1日 (月)

ラマヌジャン関連の3つのクイズ(Quanta Magazineより)

という記事がQuanta Magazineに出てました。これはなかなか面白い。
その1.
というのを (x+1)^2 = x^2+2x+1= 1+x(x+2)だけから示す。
x=2, 3, 4を入れると、
3^2=1+2*4, 4^2=1+3*5, 5^2=1+4*6なんで
3=√(1+2*4) = √(1+2*√(1+3*5)) = 1+2*√(1+3*√(1+4*6)))= …
なるほどー。
---
 
その2.
φ=1+1/φだから
φ ^2 - φ -1=0
φ=(1+√5)/2
まあ
これはおなじみ。
---
その3.ある通りに50~500の間の家があり、1,2,3,4・・・と連番がついている。あるどこかの家の右側にある家の数の和と、左側にある数の和が等しいとする。そんな家の数はいくら?
1+2+...+k = k+(k+1)+ ... n
ということなので、
k(k+1)/2 = n(n+1)/2 - (k-1)k/2
で、k^2 = n(n+1)/2
つまりあるnまでの和が平方数になることがある?ということ。
これは連分数で解ける。(ペル方程式にも直せる)
に答えがあります。
これを聞いたのはMahalanobis(統計学者)というのも面白い。
 

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