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2016年10月12日 (水)

1+2+3+…=-1/12を、物理の古典極限と繰り込みで出す?

ラマヌジャン ζの衝撃という本を本屋さんでパラパラ見ていておおっ!これは!と思ったところですが、、、
     ∞
S = Σn * exp(-n*h)
     n=1
 
を考えて、最終的にh→0にする。なんとなくhをプランク定数ぽく思う。
 
S = exp(-h) + 2*exp(-2*h) + 3*exp(-3*h) + …
から、
exp(-h)*S =     exp(-2*h) + 2*exp(-3*h) + …
を引くと、
                   ∞
(1-exp(-h))*S = Σ exp(-n*h) = exp(-h)/(1-exp(-h))
                   n=1
になるので、
 
S = exp(-h)/(1-exp(-h))^2
 
となります。これを書き直すと、
 
S = 1 / (exp(h/2) - exp(-h/2))^2
 
 = 1/ ( 1+h/2+h^2/8 + h^3/48+ h^4/384+h^5/3840… - 1 +h/2-h^2/8 + h^3/48- h^4/384+h^5/3840+…)^2
  = 1/ (h + h^3/24 + h^5/1920+…)^2
 
   = 1/ (h^2 + h^4/12 + h^6/360+…)
  =(1/h^2) / (1 + h^2/12 + h^4/360 + …)
   =(1/h^2) * (1 - h^2/ 12 + h^4/240+ …)
   つまり
 
S = 1/h^2 - 1/12 + h^2/240  + …
なので、、、
 
1+2+3+… = (h→0で∞になる項) -1/12 + (h→0で0になる項)
だ!
なので、古典極限+繰り込みで∞になる項を処理したと考えると?
1+2+3+…=-1/12
か!

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