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2016年11月21日 (月)

PLUSのフィットカットカーブ(ベルヌーイカーブというかベルヌーイ螺旋or対数螺旋)の刃先で、いつも角度が同じことを計算してGIFアニメにしてみる。 #初耳学

昨日、林先生が驚く初耳学で、PLUSのフィットカットカーブの話をしていた。

なるほどー、ということでちゃんと等角になることを計算してGIFアニメにしてみよう。

考えている状況は以下の通り。
Graph_tangent
極座標表示の曲線の接線を考える。

x=r*cosθy=r*sinθ

として、

dx/=dr/dθ*cosθ- r*sinθ

dy/=dr/dθ*sinθ + r*cosθ

となる。なので

tanα=(dr/dθ*sinθ + r*cosθ)/(dr/dθ*cosθ- r*sinθ)

tanα=(dr/dθ* tanθ +r)/(dr/ - r*tanθ

と簡単になる。さらにβを図のような角度として、

θ+Π-α+β=Πだからα=θ+β

tan(θ+β)=(tanθ+tanβ)/(1-tanθtanβ

(dr/ tanθ +r)(1-tanθtanβ=(dr/ - rtanθ(tanθ+tanβ)

これを計算するとばさばさと項が消えて、

dr/tanβ=r

が残る。で、β=一定なのが、今回目的とするものなので、

d(log r)/   = 1/tanβ

log r= θ/tanβ + C

最終的に

r= A*exp(θ/tanβ)

のような形になる。ではこれをGIFアニメにしてみよう。
Logspiral
おお、なるほど。同じ角度ではさみが閉じていく。

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