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2017年2月16日 (木)

FPU(Fermi-Pasta-Ulam)問題、非線形振動子でどうやってエネルギーがモードに分配されるか?をシンプレクティック8次で計算[解説編]

先ほど 「FPU(Fermi-Pasta-Ulam)問題、非線形振動子でどうやってエネルギーがモードに分配されるか?をシンプレクティック8次で計算。エネルギーではなくて、実際の変位をGIFアニメにしてみた。あまり見たことないのでは?詳細はのちほどブログにて。」 というのをTweetした。

ではその詳細を。この手の計算は昔いっぱいしてこのブログでも取り上げていたのですが、さっき

というPainleve先生のTweetを見て再掲しようと思った。Nasaの女性”コンピュータ”を描いた話題の映画Hidden Figuresも作られたことだし。 では過去の記事の再掲:

非線形の再帰現象のさきがけとなったフェルミ・パスタ・ウラム問題。

http://oldweb.ct.infn.it/~rapis/corso-fsc2/FPU-recent-review-Ruffoetal05.pdf

一次元調和振動子を弱く非線形結合(2次や3次)して、最初に1つのモードにエネルギーを与えたら、全部のモードに分配されるかな?と思ってやってみたら最初のモードに戻ってしまったというもの。

例えば2次で結合する以下の方程式で、、、

d2xi/ dt2 = (xi+1 + xi-1 - 2xi) + α[(xi+1 - xi)2- (xi - xi-1)2]

α=1/4、N=64としてシンプレクティック8次でモード毎のエネルギーを計算(もちろんExcel VBAを使用)した結果がこれ。

最初のモードからいろんなモードにはエネルギーは行くものの、いつか戻ってくるという。

Fpunew01

*FermiたちはMANIACというコンピュータでleap frog法で計算したそうです。

で、これのエネルギーでなくて変位をGIFアニメにしたのが最初に書いたTweetでした。

シンプレクティック8次のお話はこちら。

http://sci.tea-nifty.com/blog/2009/04/8excel-vba-7680.html

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