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2017年7月21日 (金)

ニンジンを同じ体積で2分割するには太いほうから1:4に分ける、というのを数学的に、そして円錐台に拡張 #すまたん の大人の数学特集見て

今朝の読売テレビのすまたんを見ていたら大人が数学を学ぶ特集をやっていて、

すうがくぶんか、和、永野裕之さんのお話が出ていた。

その中で、ニンジンを2分割するには太いほうから1:4に分ける、というのをやっていた。

こんな感じ。

Photo

たぶん、円錐で近似しているんだろうと思ったが、せっかくなんで円錐台で計算してみよう。
円錐台の体積は、底部の半径をr2, 上部の半径をr1、高さをhとして、
V=π*h*(r1^2 + r1*r2 + r2^2)/3
と書ける。
下からqの高さで切ったとき(その時の上部の半径をr3として)、体積が半分になるとしよう。
元の円錐の高さをHとすると、
H=r2*h/(r2-r1)=r2*q/(r2-r3)
なので、r3= r2-(r2-r1)*(q/h)
となる。これを使って高さqの円錐台の体積V'は
V'= π*q*(3*r2^2 -3*r2*(r2-r1)*(q/h) +(r2-r1)^2*(q/h)^2)/3
と書ける。これが最初に書いたVの半分、という条件から書き直すと
(記号が煩雑なので、x=q/h, r1/r2=εと置いて)
2*(1-ε)^3 * x^3 - 6*(1-ε)*x^2 + 6*x - 1 - ε - ε^2 = 0
となる。
これは3次方程式なので厳密に解ける。実数解は
x = (1-((1+ε^3)/2)^(1/3)) / (1-ε)
と結構簡単になる。
ε=0, つまり円錐ならx=1-1/2^(1/3) = 0.206・・・
なので、1:4になるのが分かった。
ε=1、つまり円柱ならもとの方程式でε=1と置けばx=1/2、つまり
半分の位置で切ればいいこともわかる。
一般のεの時のグラフはこんな感じ。
2
なかなか面白いです。
※これを計算する自作式をカシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpにアップロードした。

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