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2018年4月11日 (水)

ラプラス方程式をある差分化で数値計算すると高木関数になる例(F((2i+1)/^(2k+1))=0.5*(F(i/2^k)+F((i+1/2^k)) + Ck)

だいぶ前に書いたものの再掲:

昔、”無限・カオス・ゆらぎ”という本を読んで非常に面白かったのを覚えている。

 
その中でいちばんおもしろかったのは、差分化の方法によっては
元の微分方程式とは似ても似つかないカオス解が出ると言うところで、
その一つはロジスティック方程式の中心差分。
さらにもう一つ、”変なラプラシアン”というのが書いてあった。
(こちらの文献でも同様な話が読めます。
ラプラス方程式は、ΔF(x)=0ですが、
一次元だと単にd2 F / dx2 =0。
単純な差分化だとF(x) = 0.5 * (F(x+Δx) + F(x-Δx)) ということになる。これをメッシュをちょっと工夫して
F((2i+1)/2k+1)=0.5*(F(i/2k)+F((i+1)/2k)) + Ck
というように書きなおしてみる。
つまりあるkの点列が得られたとき、
次のk+1ではある点のデータは前のkの値で、
その点と隣り合ったデータを使って求めると見る(マルチグリッド)
でCk=1/2^(k+1)と選ぶ。Ckはk→∞では消えるはずの項。
(山口さんは、これはポアソン方程式じゃなくて変なラプラシアンだと言いきってますが。)
でkをだんだん増やして行った時のExcelのグラフをGIFアニメにしたのがこちら。
Takagi_1
しかもこれはおなじくCkをk→∞で消える項1/4^kと選ぶと、
なだらかになるという。。。
Mugenchaosyuragi2
単純な数値計算でも恐ろしいことになる例は多い。。。

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