考えている状況は以下の通りで、NポートのSパラメータ（Sa）の各ポートごとに2ポートのSパラメータ(S(i))がくっついたとき（マッチング回路やDe-embeddingのような場合）、最終的に合成されたSパラメータ（Sm）を求めたいとする。
入射波aiと反射波biの関係がSパラメータSa。
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
b_{1} \\\ b_{2} \\\ \vdots \\\ b_{n}
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cccc}
S_{a11} && S_{a12} && \cdots && S_{a1n} \\\
S_{a21} && S_{a22} && \cdots && S_{a2n} \\\
\cdots && \cdots && \cdots && \cdots \\\
S_{an1} && S_{an2} && \cdots && S_{ann}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cccc}
a_{1} \\\ a_{2} \\\ \vdots \\\ a_{n}
\end{array}\right)
\end{equation}
ここで各ポートにつく２ポートのSパラメータS(i)の入射波と反射波の関係を考えると、Nポートでつながっているところの入射波が２ポートSパラの反射波になっていて、逆に反射波は入射波になっている。ということでこう書ける（Tパラメータと同じ考え方）
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
b_{1}' \\\ a_{1}
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cccc}
S_{11}^{(i)} && S_{12} ^{(i)} \\\
S_{21}^{(i)} && S_{22}^{(i)}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}' \\\ b_{1}
\end{array}\right)
\end{equation}
これがNポート分できる。で、成分を並べ替えてベクトルb', a', aを作る。ここがトリッキーなところ。Γijは対角行列になっている。
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
b_{1}' \\\ b_{2}' \\\ \vdots \\\ b_{n}'
\end{array}\right)
=
\Gamma_{11}
\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}' \\\ a_{2}' \\\ \vdots \\\ a_{n}'
\end{array}\right)
+\Gamma_{12}
\left(\begin{array}{cccc}
b_{1} \\\ b_{2} \\\ \vdots \\\ b_{n}
\end{array}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
a_{1} \\\ a_{2} \\\ \vdots \\\ a_{n}
\end{array}\right)
=
\Gamma_{21}
\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}' \\\ a_{2}' \\\ \vdots \\\ a_{n}'
\end{array}\right)
+\Gamma_{22}
\left(\begin{array}{cccc}
b_{1} \\\ b_{2} \\\ \vdots \\\ b_{n}
\end{array}\right)
\end{equation}
ここまで来たら後は簡単。
\begin{equation}
\boldsymbol{b'} = \Gamma_{11}\boldsymbol{a'} + \Gamma_{12}\boldsymbol{b}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{a} = \Gamma_{21}\boldsymbol{a'} + \Gamma_{22}\boldsymbol{b}
\end{equation}
2つ目の式にSaをかけると
\begin{equation}
\boldsymbol{b} = S_{a}\Gamma_{21}\boldsymbol{a'} + S_{a}\Gamma_{22}\boldsymbol{b}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{b} =(I - S_{a}\Gamma_{22})^{-1} S_{a}\Gamma_{21}\boldsymbol{a'}
\end{equation}
この式を1式目にいれると
\begin{equation}
\boldsymbol{b'} = \left( \Gamma_{11}+ \Gamma_{12}(I - S_{a}\Gamma_{22})^{-1} S_{a}\Gamma_{21} \right) \boldsymbol{a'}
\end{equation}
ということで最終結果は
\begin{equation}
S_{m} = \left( \Gamma_{11}+ \Gamma_{12}(I - S_{a}\Gamma_{22})^{-1} S_{a}\Gamma_{21} \right)
\end{equation}
1ポートのキャリブレーションと同じような形をしているのが面白い。
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