板の上をはねる球をExcelで計算してみる。

Excelで計算シリーズ第五弾。さささんのBlogでカオスを教えるときに振動する板の上に跳ねる球を置いたときどうなるか、っていうのを計算させるという話を見た。どんな感じだったっけ？と考える。多分、板の変位 << ボールの跳ねる距離として近似しないとめんどくさい。これが成り立つならn回目の衝突とｎ+1回目の衝突の間の時間は打ち上げて戻ってくる時間、2V/gと近似できる。だからTn+1=Tn+2Vn/gで、跳ね返り係数をKとすると衝突前の速度はその一回前の速度の符号を変えたものだから…

Vn+1-Un+1=-K((-Vn)-Un+1)

なんで、

Vn+1=KVn + (1+K)Un+1

ここでUnは板の速度。例えばUn=AωcosωTnとかかける。すると

Tn+1=Tn+2Vn/g

Vn+1=KVn+(1+K)AωcosωTn+1

で、θn=ωTn、Sn=2Vn/gとかおくと

θn+1=θn+Sn

Sn+1=KSn+εcosθn+1

となる。これってほとんど前に書いた標準写像で、跳ね返り係数Kが加わった形。ここまできたらExcelで計算できる。K=1とK=0.8の差がこれ。

だいぶちがうなあ。