Excelでトーマス・フェルミ方程式を解いてみる（改善版）。

Thomas-Fermi方程式

y'' = t^-1/2 y^3/2

y(0)=1, y(∞)=0

を前に解いたけど、低精度の差分法でちょっと気になっていた。でこの前Emden方程式を解いたときの方法が使えるかと思ってやり直し。

t=0付近での近似解を求めて、そこからスタートすることにしよう。単純な級数では計算できないので、Picard（ピカール。スタートレックのジャン・リュック・ピカードと同じ）の逐次近似でやってみた。手計算は…もう無理。Maximaで計算してみた。y'(0)=cとすると、

y(t)は以下のように展開できる(10次まででも簡単）。

これで　ｔ=Δt　の時の初期値を得てから、Runge-Kutta8次（Dormand-Prince）で計算した結果がこれ。

 

フィッティング関数により近くなったな。まあフィッティング関数が正しいというより、今回の方が正しいだろうな。ちょうどt=1くらいのところでフィッティングの分子分母が切り替わるイメージかな。