リーマンブラザーズ破綻を聞いて、リーマン予想を思い出し、ゼータ関数の自明な零点って何故負の偶数かわからなくなった。

リーマンと言えば普通の人はサラリーマンのことを思い出すのでしょうが、理系の人間は間違いなく数学者のリーマンを思い出す。つづりは全部違うけど。でゼータ関数も思い出したんだが、自明な零点が何で負の偶数か完全に忘れている。

ゼータ関数は

ζ(s)=∑1/m^s     (m=1...∞)

で負の整数だと

1+2^2k+3^2k+...=0

だしな。発散するようにみえちゃう。当然解析接続の話だし、適当な関数関係式使えばすぐわかるんだろうけど、自明って何？ということで以下のような話を昔オイラーがしてたようだ。

http://www.math.ucsb.edu/~stopple/symmetriczeta.pdf

を参考に。今、φ(s)=∑(-1)^m-1 /m^s     (m=1...∞)　とすると、

φ(s)-ζ(s)=2ζ(s)/2^s とかけるので、φ(s)=(1-2^1-s )ζ(s) となる。

φ(-n)=∑(-1)^m-1 mⁿ     だ。

ここでf(z)=z/(1+z)とする。f(z)=∑(-1)^m-1 z^m なんでいかにもφ(s)と関係しそう。

実際、zf '(z)=z/(1+z)² =∑(-1)^m-1m z^m

なんでφ(-1)=zｆ' (z)|_z=1=1/4　からζ(-1)=-1/12だ。1+2+3+4+...=-1/12だよ。有名なやつ。

で本題。z( z f '(z) )' = z(1-z)/(1+z)³=∑(-1)^m-1m² z^m

なので、 φ(-2)=z( z f '(z) )' |_z=1 = 0だからζ(-2)=0。やっとでた。こんなに長くて、かつ別に証明でもないんだけど計算できるから自明か。数学者の言葉はわからん。「ご冗談でしょう、ファインマンさん」でも自明をからかった話があったな。