Excelでゼータ関数を計算してみる。
この前、ゼータ関数の自明な零点の話を書いたけど、ちゃんとゼータ関数を計算したくなった。
ζ(s) = ∑1/ns (n=1...∞ )
をそのまま計算するわけにもいかないし、何かいい公式ないかな?と思ったらmathworldや英語のwikipediaに出ていた。
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
ζ(s)=1/(1-21-s)∑1/(2n+1)∑(-1)k nCk (k+1)-s
が全平面で収束するということで、かつExcelでも簡単に計算できる。複素数のべき乗のルーチンが必要だけど(また後で書く)。
計算結果は、s=σ+itとしてσもtもどちらも±10まで動くとした場合。
実部:
虚部:
実軸上の値は、
なるほど、これなら負の偶数が0になるのが見える。
リーマン予想のσ=1/2+itのときは、
のようになる。大体、t=14,22,25・・・くらいの近くで零になるんだな。
σ=0~1、t=0~40のときの絵は以下に。波打ってるのがよくわかる。
実部:
虚部:
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