Excelでゼータ関数を計算してみる。

この前、ゼータ関数の自明な零点の話を書いたけど、ちゃんとゼータ関数を計算したくなった。

ζ(s) = ∑1/n^s　　(n=1...∞　　)

をそのまま計算するわけにもいかないし、何かいい公式ないかな？と思ったらmathworldや英語のwikipediaに出ていた。

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

ζ(s)=1/(1-2^1-s)∑1/(2ⁿ⁺¹)∑(-1)^k nCk (k+1)^-s　　

が全平面で収束するということで、かつExcelでも簡単に計算できる。複素数のべき乗のルーチンが必要だけど（また後で書く）。

計算結果は、s=σ+itとしてσもtもどちらも±10まで動くとした場合。

実部：

虚部：

実軸上の値は、

なるほど、これなら負の偶数が0になるのが見える。

リーマン予想のσ=1/2+itのときは、

のようになる。大体、ｔ＝14,22,25・・・くらいの近くで零になるんだな。

σ=0～1、t=0～40のときの絵は以下に。波打ってるのがよくわかる。

実部:

虚部：