伝染病の方程式

最近、豚インフルエンザの話を聞いていて大昔に読んだ伝染病の方程式のことを思い出した。元ネタはこの数学・物理100の方程式です。

全員でA人いるとして、病人の数をy、病気にかかっていない人の数をxとする。

病気の伝染速度はまあｙ’みたいだと思うと、だいたい速度は病人がどれだけかかっていない人に接触するかだからxとyの積に比例するとする。でとりあえず自然に治っていくとすると、

y' = αxy　-　βy = α(A-y)y - βy

となる。βが治癒を表して、αがかかりやすさを表す。でこれって単なるロジスティック方程式なので普通に（数値解析しなくても）解けてしまう。

y(t) = (A-β/α) / ( 1 + ( (A-β/α)/y0 - 1 ) exp ( -α (A-β/α)t)

となる。

A-β/α>0のときは

のようにどこかで飽和する。

A-β/α<0のときは

のように駆逐されてしまう。

まあ実際の伝染はこんな単純じゃないので単なる遊びですが、面白いなと。