アルキメデスの家畜問題をPARI/GPで(計算結果編)。
昨日の続き。アルキメデスの家畜問題(Archimedes' cattle problem)を計算する。
白、黒、ぶち、黄のオスの数をW,X,Y,Z、メスの数をw,x,y,zとすると、
W=Z+(1/2+1/3)*X
X=Z+(1/4+1/5)*Y
Y=Z+(1/6+1/7)*W
w=(1/3+1/4)*(X+x)
x=(1/4+1/5)*(Y+y)
y=(1/5+1/6)*(Z+z)
z=(1/6+1/7)*(W+w)
W+Z=a^2
Y+Z=b*(b+1)/2
で、上の7つの式からは、
W=10366482*k, w=7206360*k
X=7460514*k, x=4843246*k
Y=7358060*k, y=3515820*k
Z=4149387*k, y=5439213*k
が得られる。
全部足すと合計は 50,389,082*kとなる。このkを求めればいい。
W+X=17826996*k=2*2*3*11*29*4657*kなので、
k=3*11*29*4657*n^2とかける。
さらにY+Z=11507447*k=7*353*4657*k=m*(m+1)/2
でこれをまとめてkの式に直すと、2*m+1=tとして、
t^2 - a* k^2 =1
ただし、a=2*2*2*3*7*11*29*353*4657*4657
あ、これはペル方程式(Pell's equation)ですね。ということでやっとPARI/GPの出番。前に作ったプログラムが使える。
で計算して、最終的な牛の数は。。。
776027140648681826・・・6719455081800
=7.760271×10^206544
206545桁!!!
で計算結果はこのファイルです。
「Archimedes-cattle-problem.txt」をダウンロード
CRAY-1でこれ計算してプリントアウトしたら47ページになったとか。それが家庭のPCで普通に計算できるんだから技術の進歩はすごいもの。
しかしアルキメデスは絶対この解を得てないよな。フェルマーみたいなものか。
(参考)
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