建部賢弘の方法で矢高と直径から弧長を求める。

この「現代数学のあゆみ」に書かれていた記事です。

建部さんは1600年代に(arcsin(x))^2のテイラー展開に当たることを計算していたというすごい話が書いてある。具体的には、弧長をs, 矢高をx、直径をDとすると（図の通り）、

s=D/2 * θ,

x=D/2 (1-cosθ) = D*(sin(θ/2))^2

なんで、

θ/2 = arcsin (√(x/D))

そこで

s^2 = D^2 * (arcsin(√x/D))^2

     ≒ D^2 ( x/D + (x/D)^2 / 3 + 8* (x/D) ^3 /45 + ...)

     =  D*x* (1 + (x/D) / 3 + 8* (x/D)^2 /45...)

だ。これを計算したということらしい。

ではこれを例えば関数電卓fx -993ESに式として入れてみて計算してみよう。

D=2000、x=10なら

s^2 = 20033.422

と出た。s=141.53947,

   2s= 283.0789

↓これで検算するとぴったり。

円弧の長さと円弧の高さから弦長を計算する