√2の√2乗の√2乗の、、、、を無限に繰り返すと？ （ちょっと追記）

先日は”虚数の虚数乗の虚数乗の、、、を無限に繰り返すと何？”

というのをLambertのW関数を使って計算してみた。

https://sci.tea-nifty.com/blog/2013/03/post-5e4f.html

それよりはちょっと面白さは落ちるが、実数を繰り返してみる。ネットで見たことあるのは、

√2の√2乗の√2乗の、、、、を無限に繰り返すと？

√2^{√2√2√2√2√2√2}

というもの。

√２ ^c = cを計算したらいいが、これ対数とって

y = c ln[√2], y = ln[c]の交点を見てみると、

2か4ですな。

この計算をするのにLambertのW関数を使うと、

c= W(-ln(z)) /  (-ln(z))

で、2つでるのはLambertのW関数のW0とW-1に相当している。

やってみると、W(-ln(2)/2) では

x=-0.34657359
W0=-0.693147181
W-1=-1.386294361

と計算できたので、c=2,4でOK。あ、無限乗の答えは2のほうです（最後の注参照）。

では他の値はどうか、ということで計算してみた結果がこちら。

1より大きいと2値を持ち、でも1.5弱で1つになったと思ったら解なし（本当は複素数の範囲にありますが）となる。

ではMAXどこまで？というと、W(-1/e) = -1になる点までですね。

ということで-ln(z) = -1/eとなる点、ということで

z=e^1/e

で、1.444667861…くらいの値。

その時の収束する値が、、、eです。

(e^1/e)^{(e1/e)(e1/e)(e1/e)(e1/e)(e1/e)(e1/e)}=e

という、、、目がちかちかする。

---

（注）2か4かについての簡単な説明（証明じゃない）

x_n+1 = (√2)^x_n

を解けばいいのですが、x_n = 2+ε_nの場合とx_n = 4+ε_nの場合を考える。

εは小さいと思っている。それでεの1次まで計算すると、

2+ε_n+1 ≒2*(1+ln(√2）)ε_n　→　ε_n+1 = ln(2)*ε_n

なので、、、ε_n　≒（ln(2))^n *ε_0だが、ln(2)=0.69314...なので最初なんであってもn→∞で0になる。ということで2は安定。

同様に、4だとすると 　→　ε_n+1 = 2*ln(2)*ε_n

となってしまうので、これは最初がε_0が0でない限り、発散。不安定。

なので一応、答えは2と。