√2の√2乗の√2乗の、、、、を無限に繰り返すと? (ちょっと追記)
先日は”虚数の虚数乗の虚数乗の、、、を無限に繰り返すと何?”
というのをLambertのW関数を使って計算してみた。
https://sci.tea-nifty.com/blog/2013/03/post-5e4f.html
それよりはちょっと面白さは落ちるが、実数を繰り返してみる。ネットで見たことあるのは、
√2の√2乗の√2乗の、、、、を無限に繰り返すと?
√2√2√2√2√2√2√2
というもの。
√2 ^c = cを計算したらいいが、これ対数とって
y = c ln[√2], y = ln[c]の交点を見てみると、
この計算をするのにLambertのW関数を使うと、
c= W(-ln(z)) / (-ln(z))
で、2つでるのはLambertのW関数のW0とW-1に相当している。
やってみると、W(-ln(2)/2) では
x=-0.34657359
W0=-0.693147181
W-1=-1.386294361
と計算できたので、c=2,4でOK。あ、無限乗の答えは2のほうです(最後の注参照)。
では他の値はどうか、ということで計算してみた結果がこちら。
1より大きいと2値を持ち、でも1.5弱で1つになったと思ったら解なし(本当は複素数の範囲にありますが)となる。
ではMAXどこまで?というと、W(-1/e) = -1になる点までですね。
ということで-ln(z) = -1/eとなる点、ということで
z=e1/e
で、1.444667861…くらいの値。
その時の収束する値が、、、eです。
(e1/e)(e1/e)(e1/e)(e1/e)(e1/e)(e1/e)(e1/e)=e
という、、、目がちかちかする。
---
(注)2か4かについての簡単な説明(証明じゃない)
x_n+1 = (√2)^x_n
を解けばいいのですが、x_n = 2+ε_nの場合とx_n = 4+ε_nの場合を考える。
εは小さいと思っている。それでεの1次まで計算すると、
2+ε_n+1 ≒2*(1+ln(√2))ε_n → ε_n+1 = ln(2)*ε_n
なので、、、ε_n ≒(ln(2))^n *ε_0だが、ln(2)=0.69314...なので最初なんであってもn→∞で0になる。ということで2は安定。
同様に、4だとすると → ε_n+1 = 2*ln(2)*ε_n
となってしまうので、これは最初がε_0が0でない限り、発散。不安定。
なので一応、答えは2と。
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