a^(1/a)のa^(1/a)乗のa^(1/a)乗の、、、を無限に繰り返すと？

最近、”虚数の虚数乗の虚数乗の、、、を無限に繰り返すと何？”というのと

”√2の√2乗の√2乗の、、、を無限に繰り返すと何？”というのを見てみた。

で、結構一般的に言えることがあるのに気付く。

それは、無限乗をLambertのW関数を使って書くと

c = W( -log(z) ) / (-log(z))

になるのだが、LambertのW関数の性質から、

W (-log(a)/a ) = -log(a)  (ただし1/e<=a<=e)

が得られる。

なので、z=a^(1/a)とすると、

c = W ( -log(a)/a) / (-log(a)/a) = aになる！

てことは、、、

(a^1/a)^{(a1/a)(a1/a)(a1/a)(a1/a)(a1/a)...}=a

ということに。

で、a=2の時が√2を繰り返した場合、a=eのときが先日見た場合ということに。

でもこれ、結局aが整数なのは2だけで、だから√2しかこういうの見ないのか。

納得。