a^(1/a)のa^(1/a)乗のa^(1/a)乗の、、、を無限に繰り返すと?
最近、”虚数の虚数乗の虚数乗の、、、を無限に繰り返すと何?”というのと
”√2の√2乗の√2乗の、、、を無限に繰り返すと何?”というのを見てみた。
で、結構一般的に言えることがあるのに気付く。
それは、無限乗をLambertのW関数を使って書くと
c = W( -log(z) ) / (-log(z))
になるのだが、LambertのW関数の性質から、
W (-log(a)/a ) = -log(a) (ただし1/e<=a<=e)
が得られる。
なので、z=a^(1/a)とすると、
c = W ( -log(a)/a) / (-log(a)/a) = aになる!
てことは、、、
(a1/a)(a1/a)(a1/a)(a1/a)(a1/a)(a1/a)...=a
ということに。
で、a=2の時が√2を繰り返した場合、a=eのときが先日見た場合ということに。
でもこれ、結局aが整数なのは2だけで、だから√2しかこういうの見ないのか。
納得。
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