複素数の複素数乗の複素数乗の、、、、ってどうなる？

私が大学生のとき、友人とこんなクイズをやっていた。

”虚数の虚数乗(iⁱ)は？”

これはexp(iθ)=cosθ+isinθだから、θ=π/2のとき、i = exp(iπ/2）となる。

なので、i^i = exp(-π/2）≒0.20787957635・・

となる（本当は多価ですが）。

ではさらに問題。

”虚数の虚数乗の虚数乗の、、、、を無限に繰り返したら？”

iⁱⁱⁱⁱⁱⁱ

てな感じで。これをcとおく。

実際に何回も繰り返して計算してみると、、、

お、収束してるみたい。500回繰り返した結果が、

c≒0.438282937 +0.360592472 i

となった。

さて、これを一度に計算するのに、昨日、カシオの高精度計算サイトkeisan.casio.jpにLambertのW関数の自作式をUPしたのだ。

https://sci.tea-nifty.com/blog/2013/03/lambertwkeisanc.html

どういうことかというと、一般の複素数zで見ておく。

c=z^zzzzzz

なので両辺の対数をとると、ln(c)=c*ln(z)
　　（注）無限に繰り返してるから右辺がこうなる

c=exp(ln(c))なので、

ln(c) = exp(ln(c))*ln(z)

変形して

-ln(c) * exp [-ln(c)] = -ln(z)

左辺はまさしくW関数の定義(z = w*exp(w) →　w=W(z)）から計算できる。

W(-ln(z)) = -ln(c)

c = 1/exp (W(-ln(z))

ここで定義から、-ln(x) = W(-ln(z))*exp(W(-ln(z))

なのでちょっと書きなおすと

c= W(-ln(z)) /  (-ln(z))

となる。

やっとこれでz=iのときの計算をやればいいとわかった。

でkeisan.casio.jpで計算する。自作式ではあたかも実数しか扱えないみたいにかいてますが、実は複素数も使える。

ln(i) = ln（exp(iπ/2) ）=iπ/2なので、（これも多価だが、主値をとるとして、、、）

W(-iπ/2)を計算すると、

W(-iπ/2)=0.56641733-0.688453227i

が得られて、これを-iπ/2で割ると、

c=0.438282937 + 0.360592472i

とぴったり！

関連リンク：

√2の√2乗の√2乗の、、、、を無限に繰り返すと？　（ちょっと追記）

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