積分記号の中で微分する飛び道具の例その２（ご冗談でしょう、ファインマンさん）。

昨日、積分記号の中で微分する（differentiation under the integral sign)の話を書いたが、

積分記号の中で微分するという道具（ご冗談でしょう、ファインマンさん）って? -　Differentiation under the integral sign

ちょうどこの考え方が使える話がTwitterで流れていた。こちら。

https://twitter.com/chibaf/status/346958155986653185/photo/1

”手で計算すると留数計算が必要になるこの定積分の答えを出せるMathematica、どういうアルゴリズムを採用してるんだろう”

という話。

では飛び道具で計算してみる。

補助変数としてtを使い、

F（ｔ） = ∫exp(t*cosθ) cos(t*sinθ)dθ

とする。

dF(t) / dt = ∫exp(ｔ*cosθ) [cosθcos(ｔ*sinθ）-sinθsin(t*sinθ)]dθ

で、ここからがトリッキー

dF(t)/dt=∫(1/t)*(d/dθ)[exp(t*cosθ)sin(t*sinθ)]dθ

           = (1/t) *∫d(exp(t*cosθ）sin(ｔ*sinθ))

           =exp(t*cosθ）sin(ｔ*sinθ)/t 　|θ=0～π

           =0

これをdF(t)/dt = 0をt=0から1まで積分してみる。すると

F(1) - F(0) = 0

なのでF(1) = F(0)

ところが、F(0) = ∫dθ=πなので結局、

∫exp(cosθ) cos(sinθ)dθ　= π　（積分範囲は0～π）

となる。ふう、やっと終わった。