Scratch(プログラム言語）で最速降下曲線を描いてみる。（1200km/hで走るHyperloopの影響で、、、）

先日、1200km/hでチューブのなかを走ってサンフランシスコ-ロサンゼルス間を30分で結ぶというHyperloopの話を聞きましたが↓

今、WBS見てたらカプセルの中を時速1200kmで走る列車が（ロサンゼルス-サンフランシス間を30分）

その時、最速降下曲線（というか変分法）を久々に計算しようと思った。英語でいうと、Brachistochrone curve というそうです。

曲線の長さds = √(dx^2 + dy^2) = √(1 + y'^2)で、速度はv = ds/dt = (dx/dt)*√(1+y'^2)

で、かかる時間はT=∫dｔ = ∫dt/ds * ds/dx * dx =∫ √(1 + y'^2)/v dx

ですが、重力がかかっている中を摩擦なしに走るということでエネルギー保存則から、

mgh = mv^2/2

なんでT=∫√(1+y'^2/2gy)dx

でここから変分法の出番。積分の中身をfとすると∂f/∂ｙ -(d/dx)∂ｆ/∂y' = 0

でこちゃこちゃ計算すると、結局（もうテキストベースで式打つのがめんどくさくなった）

y' = √((2C-y)/y)になる。てことでこれはサイクロイドの式。これをScratchで計算してみよう。

これ。

http://scratch.mit.edu/projects/11865352/

東京-大阪間を想定して400kmの距離を入れると506秒で到着、てことは8分強。すごい速さ。

ただし、、、127kmの深さのトンネルを掘る必要がある、、、