メルセンヌ素数と完全数の関係（7/27の朝日新聞 桜井進の数と科学のストーリー）

今日の朝日新聞の記事ですが、

http://www.asahi.com/articles/DA3S11267540.html

これ、昔聞いたことあったけど、完全に忘れていた話で面白かった。

それは、メルセンヌ素数 M_n=2ⁿ-1

に2^n-1をかけると偶数の完全数になる、というもの。

証明は割と簡単で、

2^n-1* M_n

の約数が1,2,・・・・,2^nとMn, 2*Mn,・・・・,2^(n-1)*Mn

なので、これを全部足すと(自分を除外して)、等比級数の和の公式を思い出して、、、

1+2+・・・・2+^(n-1)+Mn+2*Mn+・・・・+2^(n-2)*Mn

=(2^n -1)/(2-1) + (2^(n-1) - 1) *Mn

= Mn   +( 2^(n-1)-1) *Mn = 2^(n-1)*Mn

と自分に戻った。例を見てみよう。

M2 = 2^2-1 = 3で素数。これに2をかけると6になりますが、

6=1+2+3

なんで完全数。M3=7なので、7*4=28ですが

28=1+2+3+4+7+14なんで完全数。

M5 = 2^5 - 1 = 31 これに2^4をかけると31*16=496

これは1+2+4+8+16+31+62+124+248=496でOK。

さて次は、M7=127です。これに64をかけると8128。めんどくさいけど確かめられる。

次は、M13=8191、これに2^12をかけると、33550336、、、そろそろ手計算ではやばい。

オイラーはM31=2147483647まで見つけたという、このときの完全数が、2305843008139952128。

いま最大のメルセンヌ素数は48個目のM　57885161

http://www.mersenne.org/various/57885161.htm

どんな数かみたいですか？

これです。

http://prime.toldyouso.com/digit/m57885161/prime-c.html